空疎に真（vacuously true）の説明

ウィトゲンシュタインが
真理表を考えた。

 

 

かなりたくさんの人に質問される論理学の概念、空疎に真(vacuously true)について説明したいと思います。

 

拙著では下記のページに載っています。

 

記号論理入門【命題論理】前編　§9

文系のための記号論理入門：命題論理から不完全性定理まで　§56

論理と分析：文系のための記号論理入門　p.66

 

 

条件法で前件偽

p→qの真理表
赤枠内が空疎に真を表す箇所。

 

 

空疎に真は、条件法の真理表で説明されることが多いです。

 

上掲画像は条件法の真理表ですが、その３行目と４行目では意味されていることは、

 

p→qで，p（前件）が０（偽）の時，後件 q の真偽（１か０）を問わなくても、条件法 p→q全体は有無をいわせず真になる

 

ということです。これが空疎に真の意味です。

 

 

どういった使われ方をするか？

以下の例はこの本のp.3に載っています。

 

 

空疎に真は、日常言語の「ならば」の意味を記号論理が汲み取っていない典型として、批判にされされることが多いのですが、その割には理系タイプの議論で大変重宝されます。

 

なにかいい例は・・・と考え探したのですが、以下の例がよいでしょう。すこし述語論理の知識を必要とします。

 

任意の集合Bに空集合は包含される：∅⊂B　・・・①

 

これが言えるのは空疎に真の論理からです。

 

包含関係⊂は、全称文として条件法を使って次のように書き換えられます。

 

A⊂B　←→def. ∀x(x∈A→x∈B)　・・・②

 

そうすると∅⊂Bは以下のように書き換えられます（←→は同値関係。論理学で文同士の間に成立するイコールみたいなもの）。

 

∅⊂B　←→ ∀x(x∈∅→x∈B)　・・・③

 

しかしx∈∅は端的に偽（空集合∅には何も属さない）。なので、条件法x∈∅→x∈B全体は空疎に真。ゆえに定義②より、∅⊂B（＝①）は成立する。

 

空疎に真は、こんな風にして使われるのが典型です。

 

 

p→qは¬p⋁qと同値

 

空疎に真の舞台裏には、p→qと¬p⋁qが同値とみなされる、という論理学的常識があります。

 

実際の¬p⋁q真理表を書いてみれば、上掲p→qの真理表と一致するのがわかるでしょう。