多重量化について講義した際、質問して頂いた問題について取り上げたいと思います。

多重量化で次の構文を取り上げました。

∃x∀yR (x, y)　誰かがみんなを愛している（能動態）

∀y∃xR (x, y)　誰もが誰かによって愛されている（受動態）

本当は、R (x, y)と書かずにRxyでもよいのですが、下記議論と歩調を合わせるためにR (x, y)と書きます。

さて、これを以下のように表してはダメなのか、という質問を受けました。

A-R (∃，∀) 誰かがみんなを愛している　　A= Active（能動態）

P-R (∃，∀) 誰もが誰かによって愛されている　　P= Passive（受動態）

私（管理人）の元々の説明は、以下の通りでした。

①　R (∃，∀) だけだと能動態と受動態の意味が混同されてしまう。

②　なので量化子を前に出して∃x∀yR (x, y)と∀y∃xR (x, y)で能動態と受動態の区別を付ける。

質問してくれた方は、この②のやり方が回りくどいので、能動態読みをA-R、受動態読みをP-Rで表せばよいのではないか、と批判的に質問してくださったのです。

数学的ルーツ

しかし数学的ルーツを考えるなら、やはり述語にA-やR-といった記号を付けるのは望ましくありません。

∃x∀y ≦ (x, y)　或る数は全ての数より小さい
（≦にしたのは、この数を0とみなすため）

∀y∃x ≦ (x, y)　どんな数も少なくとも1つの数より大きい（どんな数にも自分より小さい数がある）
（5だったら4,
3だったら2,
0だったら自分自身・・・この0について言うため≦にしました）

もともと多重量化は、こういった数学的発想を明確に表すためのものでした。これを次のように表記したらどうなるでしょうか。